數(shù)學的“規(guī)則”來自哪里
為什么1+1=2？
對于這個問題，一個可能的回答是：“因為它就是這樣！”它所隱含的意思是：“因為我就是這么說的！”這是一個讓一代又一代孩子無比沮喪的回答。“因為我就是這么說的”意味著有那么一個高高在上的權(quán)威人物在制定規(guī)則，他可以隨心所欲地使用他的權(quán)威而不需要解釋任何理由，其他人必須臣服于這些規(guī)則。
由此產(chǎn)生沮喪感其實并不奇怪。實際上，數(shù)學所包含的一股強大沖動就是要打破所有的規(guī)則，找出這些規(guī)則不適用的陰暗場景，以表明所謂的權(quán)威人物其實并不像他們想象的那么有權(quán)威。
數(shù)學似乎是一個你不得不去遵守的規(guī)則世界，難怪它會給人僵化、枯燥之感。相比之下，我對數(shù)學的熱愛源于我對打破規(guī)則的熱愛，或者至少是對推動規(guī)則改變的熱愛。這種行為經(jīng)常讓我產(chǎn)生一種羞怯感，因為我就像個永遠都長不大的少年。我對數(shù)學的熱愛還因為我總是對所有的事情問一個“為什么”，這更讓我覺得自己就像個長不大的孩子。然而，恰恰是這兩股沖動推動了人類認知的不斷進步，尤其是對數(shù)學的理解，它們可以說是數(shù)學重要的起源。這一章我們就來談?wù)勥@個問題。
我想強調(diào)一點，在日常生活中我是個奉公守法的人，因為我明白規(guī)則代表著群體的凝聚力，是社會安全的重要保障。我相信這些規(guī)則，也不介意遵守那些有明確目的性的規(guī)則。然而我不相信那些武斷專橫的規(guī)則，它們往往沒有正當理由，或者我不相信它們所謂的正當理由。比如，“你必須每天整理好自己的床鋪”，或者“絕對不要用微波爐融化巧克力”。
所以，我想去探究數(shù)學那些顯而易見的“規(guī)則”來自哪里，以及數(shù)學這個概念來自哪里。我會嘗試描述，它如何從一粒種子以自然的過程成長為參天大樹。所謂種子，就是我們每個人，尤其是孩子，經(jīng)常會提出的那些幼稚的問題，比如為什么“1+1=2”，而且不會在知道答案之后心滿意足地離開。就像任何植物的種子一樣，它們也需要以正確的方式去培養(yǎng)，需要肥沃的土壤、足夠的空間來伸展它們龐大的根系，當然還需要營養(yǎng)。不幸的是，我們這些幼稚的問題往往沒有以這種方式得到足夠的滋養(yǎng)，而是被貼上“愚蠢”的標簽丟在一旁。在數(shù)學研究中，深刻與幼稚問題之間的差別或許就在于不同的滋養(yǎng)方式，也就是說，它們本無差別，都是同樣的種子。
不喜歡數(shù)學的人經(jīng)常被那些明顯帶有專橫意味的結(jié)論困擾，即宣稱什么東西就是正確答案，而沒有任何解釋：“1+1就是等于2！”然而，探究某些結(jié)論背后的原因讓我們有機會構(gòu)建起數(shù)學強大的基礎(chǔ)，使其具有清晰的脈絡(luò)和縝密的論證過程。有些人覺得清晰性和可靠性令人心神愉悅，其他人則感覺到一種約束感和強迫感。但是類似于“為什么1+1=2”的問題讓我們有機會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學其實并沒有明確的正確答案，而是在不同的背景下，不同的事情可能是真的。這將引導我們探索數(shù)字最初從何而來，算術(shù)概念的起源，以及我們?nèi)绾伟堰@些概念應(yīng)用到其他數(shù)學問題，比如圖形問題上。它涉及數(shù)學發(fā)展過程中很多重要的主題，從建立事物之間的聯(lián)系開始，認真對待抽象的概念，然后一點一點擴展我們的思維過程，已涵蓋我們周圍更多的世界。
與其思考“為什么1+1=2”，我們還不如先深入一步，思考一下這個等式是否在所有條件下都成立。
數(shù)學探討的是場景背后的意義
兒童的天性似乎就是喜歡尋找反例。所謂反例，就是證明某件事不正確的真實案例。宣稱某事永遠正確就像為其構(gòu)筑了一道高墻，而尋找與之矛盾的例子就像為推倒這道高墻而付出的努力。這是一種重要的數(shù)學學科發(fā)展動力。
要想了解孩子們對1+1這個概念的認知，你可以嘗試詢問：“如果我給你一塊蛋糕，再給你一塊蛋糕，那么現(xiàn)在你有幾塊蛋糕？”但他們有可能會興高采烈地說：“一塊都沒有，因為我把它們都吃掉了?！币灿锌赡軙f：“一塊都沒有，因為我不喜歡蛋糕。”
父母們在互聯(lián)網(wǎng)上貼出的無忌童言，總讓我覺得興味盎然。我最喜歡的一段對話是，當被問“喬有7個蘋果，他用其中的5個蘋果做了一個蘋果派，他還剩下幾個蘋果”時，我朋友的孩子說：“他已經(jīng)把蘋果派吃掉了嗎？”我喜歡那些在道理上正確的答案，而不是那些被公認為正確的答案。這是數(shù)學非常重要的一個層面，兒童的思維過程往往會揭露一些極為重要卻經(jīng)常被忽視的數(shù)學天性，也就是挑戰(zhàn)不公正權(quán)威的天性。
孩子們挑戰(zhàn)權(quán)威，或許是因為他們有意探索某些事物的邊界，也可能是因為他們想尋找一種自我意識，畢竟這個世界沒有留給他們太多的話語權(quán)。我清晰地記得在小時候，遵照大人們的指示做事是多么令人沮喪。而對某個成年人提出的具有引導性的問題，最有趣的回應(yīng)方式是將問題的前提一舉推翻，比如我會說我根本不喜歡蛋糕。
從某種程度上說，這樣的回答有點兒惡作劇和破壞性的味道，但我覺得這也算是一種數(shù)學的動力。的確，數(shù)學或許就是某種惡作劇和破壞性的行為。換一種方式來說，數(shù)學就是在探尋事物的邊界，就和孩子們的行為一樣。我們想要搞清楚令某些事物為真的具體邊界，這樣我們就可以確定何時處于“安全”區(qū)域，然后在好奇心和勇氣的驅(qū)使之下去探索更廣闊的外部世界。這就像一個蹣跚學步的孩子有意跑遠，想看看自己究竟跑到哪里才能讓大人來追他們。思考1+1不等于2的成立條件就是一個絕佳的例子。
如果我說“我不是不累”，那就是說“我的確很累”。于是有的孩子發(fā)明了一個有趣的游戲，說“我不是不是不是不是不是不是不是不是不是不是不累”，進而變得有些歇斯底里，因為他們知道誰也記不住他們究竟說了幾次“不是”。這讓我想起了一道令人發(fā)狂的數(shù)學題，那是一個冗長、煩瑣的計算過程，學生們很容易在負號上犯錯。批改作業(yè)的痛苦之處在于，如果學生犯了2次錯誤，或者更糟糕犯了4次錯誤，他們的答案將是正確的。但是在數(shù)學的世界里，答案正確不是唯一的標準，過程也必須正確，所以我不得不仔細查看每一個計算過程。
另一個讓1+1=0的場景，就是所有的一切都已經(jīng)是零。就像我小時候的那些糖果：我天生對人工色素過敏，而當時所有的糖果都含有人工色素，所以不管有多少糖果，對我來說都等于零。
有時候，四舍五入的誤差也會導致1+1大于2。如果我們只討論整數(shù)，那么1.4被視為1，兩個1.4就是2.8，應(yīng)被視為3。所以在四舍五入的世界里，1+1有可能等于3。一個與此相似但稍有不同的情形是，如果你手里的錢只夠買一杯咖啡，你的朋友也只帶了夠買一杯咖啡的錢，但把你們倆的錢合起來，或許可以買到第三杯咖啡，因為如果你們每個人手里的錢是一杯咖啡價格的1.5倍甚至1.9倍，你們就足夠買3杯咖啡了。
有時候1+1大于2與繁殖有關(guān)。比如，你把一只公兔子與一只母兔子放在一起，之后你很有可能得到一大群兔子。還有可能是你把相對復雜的事物加在了一起，如果一對網(wǎng)球運動員與另一對網(wǎng)球運動員對壘，那么不同的排列組合會出現(xiàn)兩對以上的網(wǎng)球運動員。如果第一對是A和B，第二對是C和D，我們就會有以下幾種組合：AB、AC、AD、BC、BD、CD。所以一對網(wǎng)球運動員加另一對網(wǎng)球運動員就等于6對網(wǎng)球運動員。
有時候1+1=1：你把一堆沙子放在另一堆沙子上，結(jié)果還是一堆沙子?；蛘?，就像我的一位藝術(shù)系學生指出的那樣，如果把一種顏料與另一種顏料混合在一起，你只能得到一種顏色?；蛘撸以?jīng)看到一個有趣的網(wǎng)絡(luò)視頻，如果你把一塊意大利千層面放在另一塊上面，它還是一塊意大利千層面。
一個稍有不同的1+1=1的場景是，如果你有一張優(yōu)惠券，買一杯咖啡可以免費得到一個甜甜圈，但每人僅限使用一張優(yōu)惠券，那么即使有兩張優(yōu)惠券，你也只能得到一個甜甜圈。或者你在火車上按下“開門”鍵，不管按多少次，效果都與按一次相同。至少它對列車開門的效果是一樣的，但就你可以表達沮喪心情的程度而言可能有所不同，也許這就是為什么總有人站在那里不停地按。
現(xiàn)在，你或許覺得以上情形根本不是1+1不等于2的真正原因，因為它們都不是真正意義上的“相加”，或者相加的不是真正的數(shù)字，還可能是其他一些牽強附會的原因。你當然可以這樣想，但這并非數(shù)學的本質(zhì)。而數(shù)學探討的就是這些場景背后的意義。我們來看看事情按這種趨勢發(fā)展的后果是什么，還有哪些與此類似的情況。讓我們更清楚地了解1+1等于2以及不等于2的條件，這樣我們就能比以前更深入地了解這個世界。
這就是數(shù)學的起源。為了探索1+1等于或不等于2的情形，我不希望僅僅去挖掘這個等式的起源，也想一路探究數(shù)學的起源。
數(shù)學源于人們想要更好地理解事物
數(shù)學源于人們想要更好地理解事物。為了更好地理解事物，我們會找到一種更容易的思考方式。一種方法是忽略困難的部分，但更好的方法是秉持這樣一種觀點，即讓我們專注于與我們當前相關(guān)的部分，同時不要完全忘記其他部分的存在。
這有點兒像給照相機鏡頭配上一個濾鏡，暫時讓我們關(guān)注某一類顏色，之后再換上另一個濾鏡關(guān)注其他顏色?；蛘呔拖裨跓醪说倪^程中盛出鍋里的水，讓湯汁變少、變濃稠，當然你不會丟掉這些水，之后還會將其放回鍋里。
數(shù)學最廣為人知的起點是數(shù)字。大多數(shù)孩子最初接觸數(shù)學，或者他們對數(shù)學的第一印象是數(shù)字，甚至很多人對數(shù)學留下的最后的印象也是數(shù)字。然而數(shù)學不僅僅關(guān)乎數(shù)字，雖然它呈現(xiàn)出數(shù)字的形態(tài)，但其實這門學科并不是為了研究數(shù)字。更準確地說，它是我們從自己的世界進入數(shù)字世界的過程，以及我們在這個過程中的收獲。
數(shù)學與數(shù)字的緊密聯(lián)系在于，對那些喜歡模糊性、創(chuàng)造性、想象力和自由探索的人來說，數(shù)字可能顯得很無聊。我不想說數(shù)字多么有趣，恰恰相反，數(shù)字的確很無聊，這一點無可辯駁。
然而，數(shù)學能包容、整合我們身邊的一部分世界，讓我們盡快從這部分工作中脫身，讓我們富有冒險精神的大腦去探索更令人興奮的那部分世界。這就像利用一臺計算機處理生活中枯燥乏味的工作，讓我可以去做一些更有趣的事情：與人交往、演奏音樂、烹飪可口的食物。
數(shù)字源于我們簡化身邊世界的渴望。難怪數(shù)學題的答案總是那么簡單，也總是那么枯燥。但是我們最初是如何發(fā)明數(shù)字的，過程卻是相當復雜的。數(shù)字源于我們對不同事物之間相似性的探索，以及選擇暫時忽略哪些不同。眼前的兩個蘋果和兩個香蕉讓我們看到了它們之間的某些相似之處，然后我們在大腦中形成“二”的概念。但是為了做到這一點，我們必須忽略蘋果和香蕉作為誘人的水果的具體特征，而把它們當成抽象的、沒有具體特征的事物。這是一次抽象化的飛躍，而且難度很大，孩子們總是需要一段時間來消化這個過程。我們可以適當引導和鼓勵，比如在他們面前反復數(shù)數(shù)。但他們終究需要憑借自己的力量完成這個飛躍，旁人無法替代。
問題在于，如果忘記了這些事物本來擁有的豐富多彩的特征，只關(guān)注那些“讓事情變得更加枯燥”的部分，我們就會讓一切聽起來很無聊。我們不能忘記整件事的初衷，那就是打開一扇洞悉整個世界的大門。
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