作為科學(xué)皇冠上最璀璨的一顆明珠，數(shù)學(xué)是一個非常抽象但是又極其重要的學(xué)科，人們經(jīng)常問，到底什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)到底跟日常生活有哪些關(guān)聯(lián)？從計(jì)算機(jī)到人工智能，它們?nèi)绱恕奥斆鳌钡脑蚴鞘裁矗?/span>
本期首都科學(xué)講堂之“極簡科學(xué)課”，邀請到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員劉歆，為你揭開數(shù)學(xué)與人類生產(chǎn)、生活最息息相關(guān)的分支——“最優(yōu)化”的神秘面紗。
主講嘉賓：劉歆，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員。
奇妙數(shù)學(xué)：無處不在的最優(yōu)化
我們知道，數(shù)學(xué)是專門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，是所有科學(xué)密不可分的重要基礎(chǔ)。歷史上，數(shù)學(xué)的重要性被很多人推崇和肯定，哲學(xué)家柏拉圖曾說數(shù)學(xué)“是一切知識中的最高形式”，哲學(xué)家培根也將數(shù)學(xué)形容成“通往科學(xué)之門的鑰匙”。在數(shù)學(xué)家高斯眼里，數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，因?yàn)樵谒磥頂?shù)學(xué)是一門非常美的學(xué)科，二來是因?yàn)樵谖鞣降膰H象棋中，皇后的作用是非常巨大的——既能當(dāng)中國象棋中的車，橫走豎走，也可以像象一樣斜著走，是整個國際象棋中功能最強(qiáng)大的一顆棋子，由此可見，數(shù)學(xué)在高斯眼里是多么重要。
數(shù)學(xué)主要可以分成兩大類：一部分是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，它包含了平面幾何、立體幾何、解析幾何；另外一種就是應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的分類非常廣、涉及得也非常廣，像概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)物理方程、系統(tǒng)與控制，而我們今天要談的最優(yōu)化也是其中之一。
作為一門古老而又青春的交叉學(xué)科，最優(yōu)化將運(yùn)籌學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)交叉在了一起，那么到底什么是運(yùn)籌學(xué)、什么是計(jì)算數(shù)學(xué)呢？
提到運(yùn)籌學(xué)，我相信大家應(yīng)該都知道一句話，那就是“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”。這句話本來是劉邦對張良的評價，但是從科學(xué)的角度來看，它研究的正是千里之外的人如果想要贏，他需要做些什么、準(zhǔn)備些什么，而這正是現(xiàn)代運(yùn)籌學(xué)所思考的范疇，即在生產(chǎn)、戰(zhàn)爭或是勞動中，我們應(yīng)該如何決策，才能取得最佳的效果。
跟這個很像的還有“田忌賽馬”：齊威王喜歡賽馬，他有上等馬、中等馬、下等馬三種等級的馬匹，有個大臣叫田忌想跟王來賽馬。那很明顯，如果使用上等馬對上等馬、中等馬對中等馬、下等馬對下等馬，田忌無論如何都會輸。但是田忌人很聰明，他用自己的下等馬出戰(zhàn)齊威王的上等馬，用他的上等馬對齊威王的中等馬，用他的中等馬對齊威王的下等馬。這樣，田忌雖然第一場輸?shù)梅浅K，但后兩場他都勝了，結(jié)果就是2:1贏了齊威王。
除了田忌賽馬，著名的歐拉七橋問題也是一個很典型的最優(yōu)化問題：18世紀(jì)東普魯士有一個城市叫哥尼斯堡，這個城市被兩條河分成了四個區(qū)域，且這四個區(qū)互相之間又不連通。為了溝通方便，人們架了七座橋把這幾個區(qū)連接在一起，但后來人們就想，有沒有什么方法能一次性地把這七座橋都走一遍，但同時又不走重復(fù)路呢？基于這個問題，彼時的著名大數(shù)學(xué)家歐拉提出了“一筆畫”原理并以此得出了結(jié)論，即哥尼斯堡這個問題無解——人不可能不重復(fù)地走遍這七座橋又回到原點(diǎn)。
這些例子都告訴我們，決策在生活中是非常重要的，決策者希望選擇對自己最有利的方案，而這個最有利的方案就是優(yōu)化，就是我們這個學(xué)科的最優(yōu)化。
放到現(xiàn)代社會，運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用范圍就更廣泛了。在我國，山東師范大學(xué)的管梅谷教授提出了一個非常有名的國際問題叫“中國郵遞員問題”，這個問題是說，如果一個郵遞員從郵局出發(fā)開始投遞快件，他要怎么走才能一面走遍所有街道，一面還能確保他走的總路程最短？不得不說，尋找最優(yōu)化方案幾乎滲透到了我們?nèi)粘Ｉ畹姆椒矫婷?，比如說網(wǎng)購賣家應(yīng)該怎樣分配物流、分配倉儲、調(diào)配庫存？比如說如何考量是否應(yīng)該在一個城市新建一座大橋，在哪里建才能緩解交通堵塞？……這些問題的背后其實(shí)都隱藏著很多有趣的數(shù)學(xué)模型。
計(jì)算數(shù)學(xué)：從理論到實(shí)踐生產(chǎn)
說過運(yùn)籌學(xué)，我們再談?wù)動?jì)算數(shù)學(xué)。舉例來說，當(dāng)我們想買桌子的時候，很少有人會跟賣家說“我要一張邊長√2的桌子”，因?yàn)檫@個尺寸打造不出來，我們沒有一把尺子可以度量√2。那什么樣的尺寸是可以度量的？比如說1米——想打一張邊長1米的桌子非常容易，1.4米也容易、1.41米也還可以，但1.412米就有點(diǎn)難度了。換而言之，從1米、1.4米到1.41米再到1.412米，因?yàn)檫@些數(shù)都是有限小數(shù)，所以對于工程師而言它們都是可以生產(chǎn)的，但對于√2這種無限小數(shù)、無理數(shù)，尺子量不了工程師也就做不了，這個將理論和應(yīng)用連接在一起的橋梁就叫“計(jì)算數(shù)學(xué)”。
計(jì)算數(shù)學(xué)就是把數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家們提出的一些無法從事實(shí)踐生產(chǎn)的方程，求解成小數(shù)點(diǎn)或帶若干位小數(shù)的有限小數(shù)，給工程師用來實(shí)際生產(chǎn)制造。而在這個過程中，跟計(jì)算數(shù)學(xué)關(guān)系最密切的就是方程，這個方程可以是數(shù)學(xué)的方程也可以是物理的，更可能是力學(xué)方程、電磁學(xué)方程、化學(xué)反應(yīng)式。換而言之，將工程師和自然科學(xué)連接在一起的是計(jì)算數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)家通過寫計(jì)算機(jī)能夠識別的語言，讓計(jì)算機(jī)計(jì)算出一個工程師需要的數(shù)學(xué)精度，而實(shí)現(xiàn)這些的算法又需要大量的數(shù)學(xué)理論支撐。
正如前文所說，運(yùn)籌學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)一同構(gòu)成了最優(yōu)化，也就是要研究在一定約束下，我們想要集小化一個或者是集大化一個函數(shù)，那么要如何設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)的算法，才能讓計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)呢？這，就是我們最優(yōu)化所研究的范疇。
早年華羅庚在70年代推廣優(yōu)選法的時候曾提出過一個概念叫“瞎子爬山”，其實(shí)這就是我們所說的“最速下降法”。具體來說，“瞎子爬山”說的就是跟人爬山會看路不一樣，計(jì)算機(jī)摸不清山峰在哪里，不知道如何才能繞著山路走上去，它就像是個盲人一樣。那它怎么“爬”？盲人有拐杖，他站在原地，通過拐杖他就能摸清哪里地勢最高、哪里地勢最低，這樣走一步摸一步爬到山頂。類似地，最優(yōu)化里所說的“最速下降法”也是這樣——拿下降和上山相比對，當(dāng)大家極大化一個函數(shù)的時候，如果想要取這個函數(shù)的負(fù)數(shù)，其實(shí)就等于去極小化一個函數(shù)，這跟“瞎子爬山”是找頂峰、最速下降是找“谷底”一樣，背后的邏輯和原理是一樣的。
最優(yōu)化與大數(shù)據(jù)、人工智能
那么學(xué)好最優(yōu)化有什么用呢？談到它的應(yīng)用，我們第一個想到的應(yīng)該就是大數(shù)據(jù)和人工智能，首先我們來談一談大數(shù)據(jù)。
事實(shí)上，大數(shù)據(jù)這個詞其實(shí)在20年前都沒有聽到過，也就是最近十多年才提出來的，究其原因還是因?yàn)槿祟惈@取、存儲和處理數(shù)據(jù)的能力都獲得了提升。就拿我們經(jīng)常說的追蹤大數(shù)據(jù)來說，它的本質(zhì)其實(shí)就是人的行程，是我們手機(jī)記錄下的每個位置的軌跡形成，這樣的數(shù)據(jù)在日常生活中還充斥在各個方面，比如說銀行的、公安系統(tǒng)的、醫(yī)療問診的……可以說，這幾十年間人類獲取數(shù)據(jù)的能力都得到了巨大的提高。
其次，我們的數(shù)據(jù)存儲能力也有了非常大的提升。在過去，我們用來存儲數(shù)據(jù)的軟盤只有幾十KB，現(xiàn)如今硬盤動輒就500G，更不用說像一些大的IT企業(yè)，他們還有著更高級別、存儲能力更高的數(shù)據(jù)存儲設(shè)備。因?yàn)楂@取數(shù)據(jù)、存儲數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力都得到了提升，所以我們?nèi)缃癫拍苷剶?shù)據(jù)科學(xué)，而后者的本質(zhì)實(shí)則跟數(shù)學(xué)建模非常類似，都是以生產(chǎn)實(shí)踐需求為基礎(chǔ)，然后研究如何通過數(shù)學(xué)手段來解決這些需求。
在大數(shù)據(jù)領(lǐng)域，人工智能就是最優(yōu)化的一個典型，那么到底什么是人工智能？說得簡單一些那就是，你將自己的所見所識所感甚至是決策輸入給電腦，用這段代碼來讓計(jì)算機(jī)“熟知”人的決策過程、“感知”同樣的事件，這樣在以后，計(jì)算機(jī)就可以做出相同的決策。當(dāng)然不可否認(rèn)的是，這是人類所設(shè)想的一個人工智能的終極形態(tài)，但我請大家仔細(xì)想想，想要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的前提是什么？是數(shù)據(jù)的積累，只有有海量的數(shù)據(jù)才能實(shí)現(xiàn)這種決策，而這就是所謂的機(jī)器學(xué)習(xí)——它需要你先告訴它這段代碼，比如看到紅燈要停、吃到難吃的東西要吐，讓它學(xué)習(xí)遇到這種信息之后會采取哪些決策，當(dāng)它的數(shù)據(jù)量積累到一段時間，它就可以告訴你“現(xiàn)在我知道如何對你給我輸入的情況做出正確反應(yīng)了”。
淺談人工智能中的最優(yōu)化
那大數(shù)據(jù)、人工智能又和優(yōu)化有什么關(guān)系呢？在此之前，我們可以先看一個非常有意思的表格，這個表是告訴我們10的每一個量級對應(yīng)的中文分別是什么，除了一、十、百、千、萬、億、兆，在此基礎(chǔ)上兆是10的12次方，京是10的16次方，垓是10的20次方……由此可見，從很早開始，中國人的思維就已經(jīng)不局限于日常的范疇了。
事實(shí)上，最優(yōu)化也體現(xiàn)在人工智能的應(yīng)用場景之中，譬如圖像處理。大家都知道，屏幕一般都是由一個個小顆粒組成的，這個小顆粒就叫像素、像素點(diǎn)，每個像素點(diǎn)存著一個灰度值，從全黑、0到全白、255，它中間有一個變化的過程，它分了256等，就是慢慢地漸變成從黑到白。
那彩色的屏幕又是怎么實(shí)現(xiàn)的呢？大家知道有紅、綠、藍(lán)三原色，每一種原色它都對應(yīng)一種灰度值，所以說每個小像素又是三組灰度值，即紅的、藍(lán)的、綠的灰度值分別是什么，它組合在一起就是我們看到的多姿多彩的色彩了。
基于此我們可以知道，一幅圖片的本質(zhì)是一堆海量數(shù)據(jù)，比如說1000×1000的圖片有100萬個像素點(diǎn)，它存儲的數(shù)字實(shí)則是300萬個，分別對應(yīng)的每一個像素點(diǎn)是紅色、藍(lán)色、綠色。當(dāng)我們把這個數(shù)目再擴(kuò)大一倍——1萬像素×1萬像素，那就變成1億個像素點(diǎn)，那這幅圖像的規(guī)模會更大，但人在感知上就會變得更好，圖片“看上去”就更清晰、更好。
再比如說，疫情期間也有很多事情跟最優(yōu)化息息相關(guān)，比如說大規(guī)模的核酸檢測。之前新聞里說，我們能在三天之內(nèi)測1000多萬個樣本，這是怎么做到的？我們十個一組測，而不是一個一個測，十個一組有問題了我們再單獨(dú)檢測，那么檢測的樣本量就從1000萬降到了100萬份，而這個過程體現(xiàn)的就是一個最優(yōu)決策的過程。
此外還有推薦系統(tǒng)，這也是我們特別熟悉的一個最優(yōu)化場景。大家可能都知道，我們同樣是用一款購物APP，它的推薦產(chǎn)品卻不是一樣的，比如女生看到的可能是衣服、化妝品，男生可能看到的是球鞋、玩具，而這些都是根據(jù)用戶的習(xí)慣來推薦的；還有豆瓣的電影評分系統(tǒng)，它的背后也涉及到諸如“矩陣完整化”這樣的數(shù)學(xué)模型，而想要求解這個數(shù)學(xué)模型更需要我們尋找最優(yōu)化方案，可見，推薦系統(tǒng)和最優(yōu)化是密不可分的。
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