26. “隨機(jī)”數(shù)中錯(cuò)誤假設(shè)--從“本福特定律”到“雙信封悖論”

（文末有“每周一題”和上期答案）

一個(gè)叫弗蘭克.本福特的物理學(xué)家在1938年發(fā)現(xiàn)身邊的很多隨處可見的一批數(shù)字的分布是有規(guī)律的，比如我們看看當(dāng)初本福特在其發(fā)表的文章中舉過(guò)的例子：335條河流的長(zhǎng)度或區(qū)域的面積，這個(gè)區(qū)域猜想可大到國(guó)家，小到一個(gè)學(xué)校這種；3259條人口數(shù)據(jù)，這里也沒有尺度，不過(guò)既然多達(dá)3000多條，那肯定也是有國(guó)家有城市有鄉(xiāng)村不同大小區(qū)域的人口數(shù)據(jù)；104個(gè)物理數(shù)學(xué)常量，100份報(bào)紙上出現(xiàn)的數(shù)字等等等等?，F(xiàn)在問(wèn)你，以上這些不同類別的數(shù)字，盡管單位各不相同，我現(xiàn)在問(wèn)你，只看數(shù)字，以1開頭的數(shù)字比例有多少，以9開頭的又有多少？可能你的第一感就是這兩者應(yīng)該都一樣的，應(yīng)該都是1/9，也就是11%左右。但是本福特發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字中是1開頭的數(shù)字特別多，達(dá)到30%，然后逐步減少，到9開頭的數(shù)字特別少，大概只有4.5%了，這是不是有點(diǎn)意外？而這個(gè)數(shù)字分布規(guī)律后來(lái)就被稱為本福特定律。

本福特定律分布公式，10進(jìn)制中以D開頭的數(shù)字概率為：

計(jì)算結(jié)果為：

每周一題：幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到多少停下來(lái)？（附上周答案）

本周題目：幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到多少停下來(lái)？

(來(lái)源：fivethirtyeight.com)

你在參加一個(gè)電視游戲節(jié)目，節(jié)目中有一次搖大獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，但你要與另兩名參與者競(jìng)爭(zhēng)！游戲規(guī)則如下：有一個(gè)大轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤上有20格，每一格標(biāo)注有5，10，15…，100。每人可以轉(zhuǎn)動(dòng)一次或兩次轉(zhuǎn)盤，你的目標(biāo)是兩次旋轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)（轉(zhuǎn)盤會(huì)停在一個(gè)隨機(jī)位置，每個(gè)位置機(jī)會(huì)均等），兩個(gè)數(shù)字相加值盡可能接近100，但是一旦大于100則立即出局（最后若有玩家相等，則再轉(zhuǎn)一次，數(shù)字高者勝）。最接近但不超過(guò)100的玩家可獲得大獎(jiǎng)！

你現(xiàn)在抽簽后是第一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)問(wèn)你在第一次轉(zhuǎn)動(dòng)后，當(dāng)轉(zhuǎn)盤數(shù)字大于多少時(shí)，應(yīng)該放棄第二次轉(zhuǎn)動(dòng)？假設(shè)后面的兩個(gè)玩家都會(huì)采用最佳策略，且他們能看到之前的玩家的數(shù)字結(jié)果。

上期答案：

上周題目是：

你正在跟一個(gè)女孩約會(huì)，你想給她買一部手機(jī)作為禮物。你挑選了一部手機(jī)型號(hào)，不過(guò)你不知道女孩最喜歡哪種顏色的手機(jī)。手機(jī)可選顏色分別是紅，黃，藍(lán)，綠。但女孩并不想直接告訴你她喜歡的顏色，而是要考驗(yàn)?zāi)阋幌隆Ｅ⒁呀?jīng)將四種顏色從最喜歡到最不喜歡在心里排好序。她允許你每次將任一個(gè)顏色序列向她詢問(wèn)，然后她會(huì)回答里面有幾種顏色正好是她心目中的位置。比如，女孩心中的顏色序列是：紅，黃，藍(lán)，綠。如果你問(wèn)：“藍(lán)綠黃紅”，則女孩回答“0”，你若問(wèn)：“紅綠藍(lán)黃”，則女孩回答“2”。

請(qǐng)問(wèn)，在最不走運(yùn)的情況下，你至少需要問(wèn)幾次，可以完全確定女孩心中的顏色偏好排列？注：為明確起見，需要一直問(wèn)到女孩回答“4”算結(jié)束，盡管實(shí)際上最后一次你可能是已經(jīng)確定排列順序了。

有讀者回答24次，這是四種顏色全排列數(shù)量，那就太多了，女孩可能會(huì)覺得你太笨：）。正確答案是5次！比如，你一開始把顏色排成ABCD：

女孩回答0，則你交換AB，詢問(wèn)BACD

女孩回答0， 則知道AB不可能是第1第2，則詢問(wèn)CDBA

女孩回答2，則交換CD，詢問(wèn)DCBA

女孩回答0,?? 則CD, AB分別交換，詢問(wèn)CDAB。（根據(jù)規(guī)則，必須再詢問(wèn)一次，雖然你知道這肯定是正確答案）

女孩肯定回答4！

看這個(gè)分支圖就可以應(yīng)對(duì)所有情況了：

恭喜Magician答對(duì)了，下周再見！

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