震驚：有大牛數(shù)學(xué)家宣稱證明了黎曼猜想

這一周以來(lái)，數(shù)學(xué)圈傳出來(lái)一個(gè)大新聞，弄得無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者們都興奮的不行，有等著見證歷史時(shí)刻的、也有等著看笑話的、當(dāng)然，最多的是等著看熱鬧的人。我當(dāng)然只能算是等著看熱鬧的人啦。

事情大致是這樣的，9 月20 日當(dāng)?shù)貢r(shí)間 12:04，北京時(shí)間早上6:04 分，德國(guó)海德堡論壇的官方推特發(fā)了一個(gè)推，宣稱有一位英國(guó)數(shù)學(xué)家證明了數(shù)學(xué)界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日這天公開演講，宣布他的證明方法。這條推特以光速瞬間傳遍了全世界。有些人可能奇怪了，這個(gè)，我們中國(guó)人好像都知道數(shù)學(xué)皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想嗎？唉，兄弟，醒醒吧，那是傳說(shuō)。哥德巴赫猜想在數(shù)學(xué)界的地位其實(shí)很低，既不是希爾伯特 23 問(wèn)題，也不是千禧年 7 問(wèn)題。出了中國(guó)，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是當(dāng)之無(wú)愧的，因?yàn)樗窍柌?23 問(wèn)題和千禧 7 問(wèn)題中唯一重合的問(wèn)題，也是千禧 7 問(wèn)題中的第一個(gè)，克雷研究所開出的懸賞金額是 100 萬(wàn)美金。但是，數(shù)學(xué)圈也有一個(gè)梗，問(wèn)：這世界上最難掙的100 萬(wàn)美金是什么？答：證黎曼猜想。第一個(gè)掙是掙錢的掙，第二個(gè)證是證明的證。

我那天早上一爬起來(lái)，就被這條新聞刷屏了，實(shí)在是太太太火了，所有人都在翹首以盼 4 天后的海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲葜v。今天是 9 月 26 日，演講會(huì)開過(guò)了，證明論文也公布了，這事暫時(shí)告一個(gè)段落了。于是，就有很多聽眾來(lái)問(wèn)我，黎曼猜想到底咋回事啊？證明成立嗎？100萬(wàn)美金能拿到嗎？密碼學(xué)是不是完蛋了？等等。那今天的節(jié)目我就來(lái)做一期黎曼猜想的專題。

首先要說(shuō)明一點(diǎn)，本期節(jié)目的稿子得到了貴人相助，他就是，大老李聊數(shù)學(xué)，微信公號(hào)和電臺(tái)節(jié)目都叫這個(gè)：大老李聊數(shù)學(xué)，李就是木子李，我們?nèi)ツ甏汗?jié)期間在上海一起吃過(guò)飯，其實(shí)他一點(diǎn)也不老，他目前工作生活在海外，喜歡數(shù)學(xué)的朋友強(qiáng)烈推薦去看他的公號(hào)或者收聽節(jié)目。另外，限于我們的水平有限，時(shí)間也緊張，如果后面說(shuō)的有什么錯(cuò)誤的話，也請(qǐng)大家批評(píng)指正，我們有錯(cuò)必改。

咱們先來(lái)說(shuō)說(shuō)這位弄出大新聞的英國(guó)數(shù)學(xué)家，他就是麥克爾·阿蒂亞爵士，菲爾茲獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)的雙料得主，可以說(shuō)，一個(gè)數(shù)學(xué)家能拿到的最高榮譽(yù)他全都拿過(guò)了，絕對(duì)不是民間愛好者，是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的學(xué)院派。更加令人震驚的是，他今年89歲高齡，按中國(guó)人的算法，今年過(guò) 90 大壽啊。

9 月 24 日當(dāng)?shù)貢r(shí)間的上午，老先生顫顫巍巍地走上了位于德國(guó)海德堡市的一個(gè)學(xué)術(shù)論壇，做了一次45分鐘的演講。在這次演講中，阿蒂亞爵士宣稱他證明了一個(gè)困擾人類一個(gè)半世紀(jì)的難題：黎曼猜想，并且是一個(gè)“簡(jiǎn)單的證明”。這話說(shuō)的那真叫理性、客觀、公正，一點(diǎn)不謙虛、也不驕傲。因?yàn)樗淖C明真的很簡(jiǎn)單，整個(gè)證明就5頁(yè)紙，從他所做的演講中所使用的PPT來(lái)看，真正關(guān)于黎曼假設(shè)證明的部分就一頁(yè)!。

那么，他到底證明了嗎？很多人可能最關(guān)心的是那 100 萬(wàn)美金到手了嗎？唉，數(shù)學(xué)證明這事吧，還真的沒(méi)法給你來(lái)個(gè)一句話回答，有點(diǎn)復(fù)雜，你得聽我從頭講起，完了你就能明白我為啥無(wú)法一句話回答你。估計(jì)今天這期節(jié)目會(huì)讓部分聽眾不明覺(jué)厲，不用害怕，不明覺(jué)厲的感覺(jué)其實(shí)也挺爽的。我這段時(shí)間看的很多公號(hào)文章都是這個(gè)感覺(jué)，但我還是津津有味地讀完了。

要說(shuō)黎曼猜想的歷史，其實(shí)就是人類研究質(zhì)數(shù)的歷史?？梢哉f(shuō)質(zhì)數(shù)，從其概念誕生的第一天起，就一直困擾著人類，大老李的稿子上寫的是人類兩個(gè)字，說(shuō)實(shí)話，頂多也就困擾數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者吧，99.99% 的普通人誰(shuí)會(huì)為了質(zhì)數(shù)困擾啊，你們說(shuō)對(duì)吧？不過(guò)，質(zhì)數(shù)的性質(zhì)確實(shí)令古往今來(lái)無(wú)數(shù)人著迷。有關(guān)質(zhì)數(shù)的未解之謎非常多，數(shù)學(xué)家在不同階段只能著重去解決有關(guān)質(zhì)數(shù)最緊要的問(wèn)題。在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家重點(diǎn)考察的一個(gè)問(wèn)題是：小于自然數(shù)N的質(zhì)數(shù)數(shù)量是多少？比如說(shuō)，1萬(wàn)以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)？我們可以數(shù)一下，有1229 個(gè)，10 萬(wàn)以內(nèi)是9592個(gè)，但是 1 億以內(nèi)呢？1億億億以內(nèi)呢？能不能找到一個(gè)規(guī)律呢？據(jù)說(shuō)17歲的高斯，僅憑統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和畫曲線擬合就猜想：小于自然數(shù)X的質(zhì)數(shù)大約有X/lnX個(gè)。有些人可能忘記這個(gè) ln 是什么鬼了。就是以 e 為底數(shù)的對(duì)數(shù)，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，這是一個(gè)無(wú)理數(shù)，就好像圓周率 π約等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，這個(gè) e 約等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案約等于9.21，我們把10000 代入高斯猜想，約等于 1086，和實(shí)際的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù) 1229 比較接近，如果把 100000 代入高斯猜想，結(jié)果是 8686，和實(shí)際的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù) 9592 個(gè)也比較接近了。

經(jīng)過(guò)后來(lái)很多數(shù)學(xué)家的研究后，高斯的這個(gè)估計(jì)是正確的，但大家也看出來(lái)了，不夠精確。后來(lái)高斯和勒讓德不約而同的還提出了一個(gè)新的估計(jì)式，

嗯，這個(gè)公式我沒(méi)法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很復(fù)雜。

這個(gè)估計(jì)式被稱作質(zhì)數(shù)猜想。這個(gè)猜想到1896年被法國(guó)數(shù)學(xué)家雅克·阿達(dá)馬和比利時(shí)數(shù)學(xué)家德拉瓦萊普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后獨(dú)立給出證明。質(zhì)數(shù)定理未被證明之前是數(shù)學(xué)中最重要的待解決問(wèn)題，沒(méi)有“之一”。

而質(zhì)數(shù)定理被證明后，黎曼猜想就變成數(shù)學(xué)中最重要的問(wèn)題，沒(méi)有“之一”了。黎曼猜想的出現(xiàn)時(shí)間恰好是質(zhì)數(shù)猜想提出之后，未證明之前，同樣也是有關(guān)質(zhì)數(shù)的分布問(wèn)題。

黎曼1826年出生于漢諾威王國(guó)，20歲時(shí)，按父親意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)。但是，出于愛好，他去聽了高斯在哥廷根大學(xué)的一些數(shù)學(xué)課程。高斯慧眼識(shí)才，覺(jué)得這個(gè)年輕人的數(shù)學(xué)天賦不簡(jiǎn)單，就建議他不要學(xué)神學(xué)了，改學(xué)數(shù)學(xué)。經(jīng)過(guò)父親同意后，黎曼轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)了兩年數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)在柏林大學(xué)那可是名師云集啊。兩年后，他返回哥廷根大學(xué)繼續(xù)深造。并在1851年，25歲時(shí)獲得了博士學(xué)位，他的導(dǎo)師不是別人，就是高斯。

我給你講兩個(gè)傳說(shuō)中的小故事來(lái)讓大家體會(huì)一下這位數(shù)學(xué)大牛有多牛，第一件事情是1854年，他為取得哥廷根大學(xué)講師職位所作的入職演講。當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)是，有新人入職，必須做一次體現(xiàn)自己學(xué)術(shù)水平的演講，這有點(diǎn)像“投名狀”。黎曼準(zhǔn)備了三個(gè)題目，其中一個(gè)題目是關(guān)于幾何基礎(chǔ)的，這個(gè)題目黎曼自己不是很喜歡，準(zhǔn)備也不多。但是高斯偏偏讓他講這個(gè)題目。就是這個(gè)他“不喜歡不擅長(zhǎng)”的題目，后來(lái)開創(chuàng)了一門新的幾何學(xué)，大名鼎鼎的“黎曼幾何”，這可是后來(lái)愛因斯坦廣義相對(duì)論所使用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一啊。

第二件事情是在1859年，他當(dāng)時(shí)33歲。作為當(dāng)選柏林科學(xué)院通信院士的回報(bào)，他發(fā)表了一篇論文，題目是“論小于給定數(shù)值的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)”。這個(gè)標(biāo)題聽上去就是質(zhì)數(shù)猜想，但實(shí)際其論文的意義要遠(yuǎn)超質(zhì)數(shù)猜想的結(jié)論。

就是在這篇論文中，他提出了一個(gè)函數(shù)，著名的“黎曼zeta函數(shù)”和三個(gè)有關(guān)這個(gè)函數(shù)的命題。為了讓你能夠初窺黎曼猜想的氣質(zhì)，我要給你介紹一下這個(gè)zeta函數(shù)，咱們不用追求完全搞懂，能夠感受一下這個(gè)顆數(shù)學(xué)王冠上的明珠的氣質(zhì)就好了。Zeta函數(shù)的歷史可以追溯到約300年前的歐拉時(shí)代。

我把它轉(zhuǎn)換成我們中學(xué)熟悉的代數(shù)字母，就是這樣的：

這個(gè) x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就剛好是所有自然數(shù)的集合 1+2+3+4+…。如果你還記得我們高中里學(xué)過(guò)的最基本的級(jí)數(shù)求和的話，應(yīng)該還記得，這兩個(gè)級(jí)數(shù)的和都是發(fā)散的，也就是說(shuō)，結(jié)果是無(wú)窮大。但如果這里的 x 取2，那就不一樣了，實(shí)際上就是全體自然數(shù)平方的倒數(shù)和，這個(gè)級(jí)數(shù)的和是收斂的，收斂的意思就是說(shuō)會(huì)等于一個(gè)具體的數(shù)字，它等于π的平方除以6。實(shí)際上，在這個(gè)函數(shù)中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收斂的了。大家要知道，我們?nèi)绻谧鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，那么這個(gè)函數(shù)不能是發(fā)散的，你想啊，如果 y 的值是無(wú)窮大，那這個(gè)圖像就沒(méi)法畫了嘛。所以，這個(gè) zeta 函數(shù)想要畫出有意義的函數(shù)圖像，x 的取值就必須是大于 1，我們就把這個(gè)大于 1 稱作函數(shù)的定義域。唉，說(shuō)到這里，可能有些正在讀高中的聽眾會(huì)嫌我啰嗦。同學(xué)，跟你說(shuō)個(gè)恐怖的真相，高中階段就是你理科知識(shí)的巔峰階段了，除非你是當(dāng)科學(xué)家的料，從高考過(guò)后，你的理科知識(shí)就會(huì)一路狂跌了，等你到了我這個(gè)年紀(jì)，就知道我剛才說(shuō)的那些像是回到高中課堂的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)大多數(shù)聽眾來(lái)說(shuō)都是必須的。

剛才講的是 zeta 函數(shù)，但不是黎曼zeta函數(shù)，黎曼 zeta 函數(shù)是對(duì)歐拉 zeta 函數(shù)的一種擴(kuò)展。這個(gè)擴(kuò)展過(guò)程，術(shù)語(yǔ)稱為“解析延拓”，其要點(diǎn)之一就是拓展后的函數(shù)要保持原先定義域上的函數(shù)值，這樣才叫一種“拓展”。黎曼把zeta函數(shù)的定義域擴(kuò)展到了整個(gè)復(fù)數(shù)平面，而且僅在函數(shù)變量取 1 的時(shí)候是發(fā)散的。剛才說(shuō)的那個(gè)復(fù)數(shù)平面的復(fù)不是正負(fù)的負(fù)，而是復(fù)雜的復(fù)，那邊有人說(shuō)了，大兄弟，復(fù)數(shù)平面沒(méi)聽懂，再解釋一下吧。我給你點(diǎn)個(gè)贊，這位聽眾是個(gè)率真的人，沒(méi)有假裝聽懂了。所有的數(shù)可以分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩類，凡是平方之后是正數(shù)的數(shù)都叫實(shí)數(shù)，平方之后為負(fù)數(shù)的數(shù)就叫虛數(shù)。在數(shù)學(xué)中我們用小寫的字母 i 來(lái)表示根號(hào) -1，所以，任意一個(gè)復(fù)數(shù)就可以寫成 a+bi 這樣的形式，a 就被叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b 就被叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部。那什么又是復(fù)數(shù)平面呢？大家知道，所有的實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，也就是說(shuō)，如果把所有的實(shí)數(shù)連起來(lái)，就是一根連續(xù)的直線，現(xiàn)在我們把所有的虛數(shù)也連起來(lái)，又可以得到一根直線。那么我們就可以像畫笛卡爾坐標(biāo)系那樣，橫著畫一根直線表示實(shí)數(shù)，豎著再畫一根與之垂直的直線表示虛數(shù)，那么任何一個(gè)復(fù)數(shù)就是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)了，實(shí)部的投影在實(shí)數(shù)軸上，虛部的投影在虛數(shù)軸上。這個(gè)就叫做復(fù)數(shù)平面啦。

黎曼 zeta 函數(shù)就是通過(guò)解析延拓的方法，把定義域擴(kuò)展到了整個(gè)復(fù)數(shù)平面上，這下能感受到一點(diǎn)黎曼zeta函數(shù)的氣質(zhì)了吧。

這里插播一下，你可能聽到過(guò)一個(gè)有關(guān)數(shù)學(xué)的高級(jí)梗，說(shuō)黎曼證明了“全體自然數(shù)之和為-1/12”。這個(gè)梗就是從黎曼 zeta 函數(shù)來(lái)的，因?yàn)?，如果?span>-1代入，計(jì)算所得結(jié)果為負(fù)十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的級(jí)數(shù)表達(dá)式中，說(shuō)，你看，全體自然的和不就是 (-1/12) 嗎，這個(gè)其實(shí)是欺負(fù)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者不太深入了解解析延拓的梗，不過(guò)很多愛好者似乎很樂(lè)意被欺負(fù)，喜歡津津樂(lè)道的傳播這個(gè)梗。你看，我今天又傳播了一次不是。

黎曼當(dāng)然不會(huì)去搞這些小聰明，他專注于考察什么樣的取值會(huì)使得函數(shù)的值為0，他把這個(gè)稱為zeta函數(shù)的“零點(diǎn)”?？疾煜聛?lái)，他發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)有一些很明顯的零點(diǎn)，就是負(fù)偶數(shù)，如果你把負(fù)偶數(shù)代入函數(shù)，就等于零。這個(gè)結(jié)果是顯而易見的，所以，黎曼把這些稱為平凡零點(diǎn)。所以我們還可以開玩笑說(shuō)：“全體自然數(shù)的平方和為0”。 但黎曼還發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)有些不太明顯的零點(diǎn)，他把這些零點(diǎn)叫做，非平凡零點(diǎn)。對(duì)此，他提出了三個(gè)命題：

第一個(gè)是：Zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)都在實(shí)部大于0小于1的帶狀區(qū)域中，后世稱為“臨界帶”。這個(gè)命題黎曼稱為“顯而易見的普適結(jié)果”。但后來(lái)人們這發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)也不“顯而易見”，這命題直到49年后才由 芬蘭數(shù)學(xué)家梅林和德國(guó)數(shù)學(xué)家蒙戈?duì)柼刈C明。

第二個(gè)是： Zeta函數(shù)非平凡零點(diǎn)“幾乎”都在實(shí)部等于1/2的這條線上。這里的“幾乎”是個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，大致意思是不在這條線上的零點(diǎn)數(shù)量與這條線上的零點(diǎn)數(shù)量之比趨于0。

第三個(gè)就是把第二個(gè)命題的“幾乎”去掉： Zeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)都在實(shí)部等于1/2的這條線上，被稱為“臨界線”。這個(gè)命題就是著名的價(jià)值100 萬(wàn)美元的“黎曼猜想”，本期節(jié)目講到一半了，黎曼猜想是什么終于出來(lái)了！

不知道你聽懂了沒(méi)有，我再給你總結(jié)一下。黎曼猜想就是說(shuō)：

黎曼在歐拉的一個(gè)叫 zeta 函數(shù)的基礎(chǔ)上，拓展出了黎曼 zeta 函數(shù)，他發(fā)現(xiàn)，要讓這個(gè)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果為零，變量 x 的取值要么是全體平凡的負(fù)偶數(shù)，要么就是無(wú)窮多個(gè)不平凡的復(fù)數(shù)，如果把這些不平凡的復(fù)數(shù)連起來(lái)，它們就會(huì)全部落在復(fù)平面上的一根垂直于實(shí)數(shù)軸1/2 這個(gè)點(diǎn)的直線上。嗯，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，黎曼猜想就是一根超凡脫俗的金色豎線。

怎么樣，搞明白黎曼猜想了嗎？我想，即便沒(méi)弄明白，至少能感受到它的氣質(zhì)了吧。哇，好高冷的氣質(zhì)啊。這也就是為什么宣稱證明哥德巴赫猜想的民間數(shù)學(xué)愛好者有許許多多，但是宣稱證明黎曼猜想的民間數(shù)學(xué)愛好者我沒(méi)見過(guò)一個(gè)，因?yàn)槿思业臍赓|(zhì)太超凡，一般的數(shù)學(xué)愛好者想弄明白這個(gè)猜想到底是咋回事都很困難，更不要說(shuō)去證明了。

黎曼在提出黎曼猜想時(shí)是十分謹(jǐn)慎的，他的用詞是“很可能所有非平凡零點(diǎn)都全部位于實(shí)部等于1/2的直線上”。但不管怎樣，黎曼的這篇論文體現(xiàn)了極為高深的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和造詣。黎曼的數(shù)學(xué)水平簡(jiǎn)直深不可測(cè)，因?yàn)樵谒奈恼吕锝?jīng)常會(huì)提到類似“顯而易見”、“不證自明”的字樣，但其中有很多對(duì)于其他人來(lái)說(shuō)，并不是“顯而易見、不證自明”的，可這些內(nèi)容后來(lái)大多數(shù)都被證明是正確的了。你說(shuō)人和人的差距怎么就那么大。

不過(guò)天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺結(jié)核，這在當(dāng)時(shí)沒(méi)有好的治療方法。1866年，他在去意大利療養(yǎng)途中去世，年僅40歲。但是，還有比黎曼早逝更悲劇的事情，他留下的手稿，大部分都被他的無(wú)知管家燒掉了！唉，雇一個(gè)有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下來(lái)，并贈(zèng)送給了黎曼生前的好友，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金。你說(shuō)這是幸運(yùn)吧，可黎曼老婆后來(lái)覺(jué)得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隱私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。

在這些被要回來(lái)的手稿中，有一本小冊(cè)子被認(rèn)為十分重要，那本小冊(cè)子是1860年左右，黎曼在剛提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人認(rèn)為那本小冊(cè)子里有黎曼對(duì)zeta函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的重要思考和計(jì)算。但這本如同九陽(yáng)真經(jīng)一般的小冊(cè)子被黎曼老婆索回后就不知所蹤了，唉，取一個(gè)有文化的老婆也很重要啊。有人說(shuō)那本冊(cè)子后來(lái)被德國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二戰(zhàn)后十分混亂的德國(guó)，他的遺物從未被發(fā)現(xiàn)過(guò)。

但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一個(gè)驚人的大發(fā)現(xiàn)：黎曼提出黎曼猜想時(shí)，不像有些人認(rèn)為是“憑直覺(jué)”所得，而是扎扎實(shí)實(shí)、認(rèn)認(rèn)真真的計(jì)算過(guò)黎曼zeta函數(shù)的大約前10個(gè)零點(diǎn)，也有人認(rèn)為達(dá)到20個(gè)，這一發(fā)現(xiàn)是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算方法花了四十四年，而且人們發(fā)現(xiàn)黎曼用的方法，比當(dāng)時(shí)1932年已知的任何零點(diǎn)計(jì)算方法都要先進(jìn)，也就是黎曼領(lǐng)先了其他人約70年時(shí)間之多！讓我再次膜拜一下這位大牛，我在做這期節(jié)目之前，我一直認(rèn)為最牛的數(shù)學(xué)家是歐拉、高斯這些神人，現(xiàn)在才知道，真正的神人是黎曼啊。

黎曼zeta函數(shù)的0點(diǎn)計(jì)算不但需要高超數(shù)學(xué)技巧，還需要很多的耐心，那是一個(gè)沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代。但黎曼為什么還要那么如此費(fèi)心的去手動(dòng)計(jì)算zeta函數(shù)的零點(diǎn)呢，就是因?yàn)樗靼桌杪孪氲闹匾浴?/p>

這個(gè)重要性在于黎曼猜想與質(zhì)數(shù)分布有極大的關(guān)聯(lián)性。前面說(shuō)過(guò)“質(zhì)數(shù)定理”給出了小于自然數(shù)N的質(zhì)數(shù)數(shù)量。但如果證明黎曼猜想，我們就不但能知道質(zhì)數(shù)的數(shù)量，而且能知道質(zhì)數(shù)的“分布情況”。就像概率學(xué)當(dāng)中，我們知道隨機(jī)變量可以是均勻分布，正態(tài)分布等等。那同樣也可以問(wèn)“質(zhì)數(shù)的分布”是啥？黎曼猜想就能回答這個(gè)問(wèn)題。

另一方面，從黎曼猜想誕生至今150多年以來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)有上千個(gè)命題可以從黎曼猜想中推出，以至于人們都經(jīng)常把黎曼猜想當(dāng)做真命題使用，所以它也被稱為“黎曼假設(shè)”，像是數(shù)學(xué)里一只“會(huì)下金蛋的雞”。而可想而知，如果黎曼假設(shè)被證偽，那將是人類對(duì)質(zhì)數(shù)認(rèn)知的一次重大打擊，那上千個(gè)命題中有一大半會(huì)掛掉，也就是那些以黎曼假設(shè)為必要條件的命題。

到目前為止，人類對(duì)黎曼猜想證明的最佳結(jié)果是1989年，美國(guó)數(shù)學(xué)家康瑞（Conrey)得出的：zeta函數(shù)至少有約40%的零點(diǎn)在臨界線上。這與最終結(jié)論需要的100%還是有非常大的差距。說(shuō)實(shí)話，在數(shù)學(xué)中，哪怕證明了 99%，但距離 100% 還有無(wú)窮遠(yuǎn)。

另外，人們也用計(jì)算機(jī)計(jì)算了黎曼zeta函數(shù)的上萬(wàn)億個(gè)零點(diǎn)位置，無(wú)一發(fā)生例外，很明顯繼續(xù)計(jì)算是毫無(wú)意義了。而歷史告訴我們，有關(guān)質(zhì)數(shù)的命題，再多的實(shí)證也是白搭，數(shù)學(xué)家曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)關(guān)于質(zhì)數(shù)的命題，它的反例會(huì)發(fā)生在 e 的700多次方這種恐怖的大數(shù)字之后。

另外，一個(gè)大家熟知的事實(shí)是，2000年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所提出了“千禧年7大數(shù)學(xué)難題”，每個(gè)問(wèn)題懸賞1百萬(wàn)美元，黎曼猜想當(dāng)然位列其中，而且是排在第一個(gè)。這七個(gè)問(wèn)題，都是當(dāng)今數(shù)學(xué)中最為困難也是最有價(jià)值和意義的7個(gè)問(wèn)題，到現(xiàn)在僅有龐加萊猜想被解決。

關(guān)于證明黎曼猜想的困難程度，我還可以舉兩個(gè)例子證明：

一個(gè)是關(guān)于“高斯類數(shù)”的命題，這個(gè)命題內(nèi)容不重要，關(guān)鍵是這個(gè)命題的證明模式是這樣的：如果黎曼假設(shè)成立，則這個(gè)命題成立；如果黎曼假設(shè)不成立；則這個(gè)命題也成立；所以這命題成立！但是黎曼假設(shè)是否成立，我們還是不知道。這個(gè)命題的證明模式不但可能是數(shù)學(xué)史上獨(dú)一無(wú)二的，更重要的是，它也告訴我們：“黎曼假設(shè)很難，因?yàn)樗幱谡_與不正確的邊緣”。如果黎曼假設(shè)偏于正確或者偏于錯(cuò)誤更多一點(diǎn)，則以上推導(dǎo)模式必有一種會(huì)失敗。而以上推導(dǎo)模式能成立，則必然說(shuō)明，黎曼假設(shè)處于正確和錯(cuò)誤的邊界上，即：比黎曼假設(shè)強(qiáng)一點(diǎn)的命題必錯(cuò)誤，比黎曼假設(shè)弱一點(diǎn)的命題，必成立。

另外一個(gè)例子是有關(guān)“德布魯因-紐曼常數(shù)”。這個(gè)常數(shù)與黎曼假設(shè)有這樣的關(guān)系：

如果該常數(shù)大于0，則黎曼猜想是錯(cuò)的。

如果該常數(shù)小于0， 則黎曼猜想為真，且有“余地”地偏向真。

如果該常數(shù)等于0，則黎曼猜想還是為真，但處于真或假的邊緣，且靠“真”的這一側(cè)。

說(shuō)實(shí)話，上面這三個(gè)結(jié)論真的讓我難以相信是數(shù)學(xué)的結(jié)論，越聽越像是經(jīng)濟(jì)學(xué)或者政治的結(jié)論，什么處于真假的邊緣，而且靠近真的這一側(cè)。大致查閱了一下，實(shí)在弄不懂，算了，還是那句話，我們感受一下氣質(zhì)吧。

那現(xiàn)在對(duì)這個(gè)常數(shù)的研究結(jié)果是是什么，目前的最好成果是：這個(gè)常數(shù)不超過(guò)1/2。而著名澳籍華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒和另一位研究者在今年1月合作發(fā)表的論文中，有待評(píng)議地證明了德布魯因-紐曼常數(shù)大于等于0。所以，目前我們的最好成果就是，這個(gè)常數(shù)介于0和1/2之間，準(zhǔn)確地說(shuō)就是大于等于0，且小于 1/2，那這樣一來(lái)，黎曼猜想如果是真命題，就必須要證明這個(gè)常數(shù)不多不少，剛好等于0?，F(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)常數(shù)處于如此狹小地接近0，但是偏向否命題的區(qū)間內(nèi)，則再次說(shuō)明黎曼猜想是恰好：“位于對(duì)與錯(cuò)的邊緣，讓人不知如何挑選”。

還有一個(gè)比較搞笑的例子是：曾經(jīng)有一位數(shù)學(xué)家接受采訪時(shí)說(shuō)，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他會(huì)嘗試證明黎曼猜想。第二周，他會(huì)嘗試證偽黎曼猜想，第三周再回到證明猜想，如此循環(huán)往復(fù)。因?yàn)樗伦约赫惧e(cuò)隊(duì)伍，跑錯(cuò)方向，而把自己一生給浪費(fèi)了。

不過(guò)，說(shuō)到這里，我又想到了著名的哥德爾定理，數(shù)學(xué)家哥德爾證明了一個(gè)讓許多數(shù)學(xué)家三觀崩潰的定理，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是在數(shù)學(xué)中，會(huì)存在一些用數(shù)學(xué)本身既不能證明是真，也不能證明是假的命題。換句話說(shuō)啊，一個(gè)數(shù)學(xué)命題，如果你假設(shè)它是假的，也就是用反證法，你不能用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。但是，如果你假設(shè)它是真的，也不能用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論。數(shù)學(xué)就是這么神奇。老天保佑黎曼猜想不是這種真假莫辨的命題。

好了，關(guān)于黎曼猜想的歷史我就說(shuō)到這里。

那我們?cè)賮?lái)看看這次阿蒂亞爵士的新聞事件。

話說(shuō)阿蒂亞爵士新聞剛出來(lái)的時(shí)候，我第一反應(yīng)就是，這可是爆炸性新聞啊。第一時(shí)間就嘗試搜索英文相關(guān)報(bào)道。但是第一天的時(shí)候居然沒(méi)有任何報(bào)道，這不是一個(gè)好兆頭。第二天總算有些報(bào)道了，其中《新科學(xué)家》雜志說(shuō)：他們?cè)儐?wèn)了一些數(shù)學(xué)家的意見，但是所有人都拒絕了評(píng)論。

但是網(wǎng)上的評(píng)論大多是持悲觀態(tài)度的，給出的理由通常是這樣四個(gè)：

1.? 阿蒂亞的講座只有45分鐘。這么重大的話題，45分鐘的規(guī)格顯然太小了。對(duì)比一下懷爾斯公布費(fèi)馬大定理證明的講座，搞了三天，每天凈演講時(shí)間至少三小時(shí)。

2.? 阿蒂亞已經(jīng)89歲了，而當(dāng)代數(shù)學(xué)家在60歲以上作出重大貢獻(xiàn)的很少。張益唐在58歲推動(dòng)孿生質(zhì)數(shù)猜想的研究的例子，是一個(gè)例外中的例外。

3.? 阿蒂亞最近幾年多次聲稱證明了一些命題，但沒(méi)有被同行接受的，比如2016年一篇名為“不存在復(fù)數(shù)6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。

4.? 阿蒂亞聲稱有一個(gè)“簡(jiǎn)單的證明”。但歷史上，持續(xù)很久未證明的命題基本沒(méi)有任何最終出現(xiàn)“簡(jiǎn)單”證明的例子，倒是一些命題一開始有的“簡(jiǎn)單證明”后來(lái)被證明是有錯(cuò)誤的，比如“費(fèi)馬大定理”，“四色定理”都出現(xiàn)過(guò)這樣的簡(jiǎn)單證明。

而對(duì)阿蒂亞爵士有利的情況只有一個(gè)，就是他提到了他的證明用到了“馮·諾依曼，狄拉克等人的成果。這個(gè)表述比較具體，提供了一些他證明的背景。

后來(lái)的情況是，阿蒂亞的證明論文提前在預(yù)印本網(wǎng)站上被放出來(lái)了，演講那一天，我們又看到了他的PPT。論文實(shí)在是短的很，而且用到了物理中的一個(gè)所謂“精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)”和用他老師命名的“Todd函數(shù)”。但是基本業(yè)內(nèi)沒(méi)有人理解他的這個(gè)Todd函數(shù)，也幾乎無(wú)人看好他用的物理領(lǐng)域的結(jié)論去證明數(shù)學(xué)猜想。

阿蒂亞爵士在演講的時(shí)候說(shuō)了一句很有趣的話，他說(shuō)：“如果你默默無(wú)名，而你證明了黎曼猜想，你就出名了；而你已經(jīng)出名了，你又證明了黎曼猜想，那你會(huì)變得聲名狼藉”。看來(lái)阿蒂亞爵士對(duì)他此次的這個(gè)舉動(dòng)的后果是有一定估計(jì)的，所以我也只能說(shuō)老先生的精神可嘉。

會(huì)上也有人問(wèn)了阿蒂亞爵士是否會(huì)去領(lǐng)克雷研究所的那100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金，他回答：“是，我的結(jié)果值得那個(gè)獎(jiǎng)”。但是克雷研究所目前對(duì)此事仍然保持沉默。從之前兩次重要數(shù)論猜想被證明的經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，也就是懷爾斯證明費(fèi)馬大定理和佩雷爾曼證明龐加萊猜想，對(duì)證明的驗(yàn)證工作一般要持續(xù) 2 年之久，當(dāng)然，這是指最終被證明是正確的證明，如果是錯(cuò)誤的證明，恐怕用不了那么久。因?yàn)閿?shù)學(xué)論文中，只要有一行被發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了，全部的論文就都錯(cuò)了。

關(guān)于后續(xù)發(fā)展，我借用盧昌海先生在他博客上的評(píng)論，盧昌海老師寫了一本很好的科普書，就是我現(xiàn)在手頭這本《黎曼猜想漫談》，可以說(shuō)，昌海老師對(duì)黎曼猜想是非常了解的，他是這么評(píng)論的：

“事情的發(fā)展很可能性會(huì)印證我所猜測(cè)的，即數(shù)學(xué)界出于對(duì)阿蒂亞爵士的敬重，不愿讓他難堪， 保持緘默令其不了了之 (事實(shí)上， 阿蒂亞爵士的前幾次錯(cuò)誤也基本是如此落幕的，私下溝通容或有之，但數(shù)學(xué)界并未大張旗鼓地宣稱他的錯(cuò)誤)。若如此，“吃瓜群眾” 的議論也許就是全部議論了”

我和大老李都挺贊同，不了了之大概是此事件最可能的結(jié)局。所以，大老李說(shuō)他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)仍然是猜想。如果我們有生之年能看到黎曼猜想的解決，那是我們非常大的幸運(yùn)。要知道，著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)說(shuō)，假如 500 年后我能活過(guò)來(lái)的話，我最想問(wèn)的第一個(gè)問(wèn)題是：黎曼猜想被證明了嗎？但是，我們還是要對(duì)阿蒂亞爵士保持著崇敬之情，我也很希望有人哪怕能從阿蒂亞的論文中發(fā)掘出一丁點(diǎn)有用的地方。

最后破除一個(gè)黎曼猜想的小的謠言，就是“證明黎曼猜想會(huì)讓密碼體系崩潰”?？赡苁且?yàn)槔杪孪肱c質(zhì)數(shù)相關(guān)，而我們確實(shí)有一種常用的密碼體系RSA算法是依賴質(zhì)因數(shù)分解問(wèn)題的。但黎曼猜想雖然很強(qiáng)大，但是證明黎曼猜想并不能幫我們加速判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，也不能幫我們更快的分解一個(gè)合數(shù)，所以不可能影響那個(gè)加密體系?；蛘咭部梢赃@樣想，我們?cè)缫呀?jīng)把黎曼猜想當(dāng)成是一個(gè)真命題來(lái)用了，如果它會(huì)影響加密體系，那早就影響了，不用等到它證明的那一刻。說(shuō)比特幣系統(tǒng)會(huì)崩潰的，那是不知道，比特幣系統(tǒng)用的加密算法是橢圓曲線算法 SHA，不需要用到大質(zhì)數(shù)，這個(gè)我在介紹比特幣和區(qū)塊鏈的文章中也詳細(xì)介紹過(guò)。

不管怎樣，此次事件雖然結(jié)局不太會(huì)真的證明黎曼假設(shè)，但能使更多的人了解這個(gè)數(shù)學(xué)中最重要也超困難的問(wèn)題，不失為一件好事情。

你們想，如果不是因?yàn)橛羞@個(gè)大新聞再加上我這個(gè)標(biāo)題黨的震驚體標(biāo)題，你們有多少人會(huì)認(rèn)真收聽我這期談數(shù)學(xué)的節(jié)目呢？

但是，數(shù)學(xué)真的很好玩，很有魅力，我最近一直在醞釀?wù)剶?shù)學(xué)的節(jié)目，希望能有更多人能關(guān)心數(shù)學(xué)喜歡數(shù)學(xué)，今天這期算是一個(gè)開端吧。

最后，再次感謝一下本期節(jié)目的第一撰稿人大老李，強(qiáng)烈推薦他的公號(hào)和節(jié)目：大老李聊數(shù)學(xué)。他的口號(hào)是：數(shù)學(xué)不可怕，可怕的是你怕數(shù)學(xué)。