聲音簡介
命題 14
若過任意直線上一點的兩條直線不在該直線的同側(cè)，且與該直
線所成鄰角之和等于兩直角，則這兩條直線在同一直線上。
If with any straight line, and at a point on it, two straight lines
not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right
angles, the two straight lines will be in a straight line with one another.
設(shè)過任意直線AB上的點B有兩條不
在4B同側(cè)的直線BC、BD成鄰角ABC、
ABD，其和等于兩直角；
我說，BD與CB 在同一直線上。
這是因為，如果 BD和BC 不在同一直線上，設(shè)BE和CB 在同
一直線上。
于是，由于直線 4B 與直線CBE 相交，所以
角ABC、 ABE之和等于兩直角。
[I. 13]
但角 ABC、ABD之和也等于兩直角；
因此，角CBA、ABE 之和等于角 CBA、 ABD之和。
（[公設(shè)4和公理 1]
從它們中分別減去角 CBA；
因此，其余的角 ABE 等于其余的角 ABD，
〔公理 3]
小角等于大角：這是不可能的。
因此，BE 和CB 不在同一直線上。
類似地，可以證明，除BD外也沒有任何其它直線和CB 在同
一直線上。
因此，CB和BD在同一直線上。
這就是所要證明的.
命題15
若兩直線相交，則交成彼此相等的對頂角。
If two straight lines cut one another, they make the vertical
angles equal to one another.
設(shè)直線 AB、CD相交于點E；
我說，角AEC等于角DEB，且角CEB
B
等于角 AED。
這是因為，由于直線4日與直線CD相交，交成了角CEA、
AED，所以
角CEA、AED之和等于兩直角。
又，由于直線 DE 與直線 AB 相交，交成了角 AED、DEB，所以
角AED、DEB之和等于兩直角。
[I. 13]
但已證明，角 CEA、AED之和等于兩直角；
因此，角CEA、AED之和等于角 AED、DEB之和。
每[公設(shè)4和公理 1]
從它們中分別減去角 AED；
因此，其余的角CEA 等于其余的角 BED。
類似地，可以證明，角CEB也等于角DEA。
[公理 了]
這就是所要證明的。
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